摘要:由共振法测量杨氏模量的实验思想，采用有限元分析软件ANSYS14.0对铜质细长棒进行了模态分析及谐响应分析，获得了前三阶振动模态的共振频率及振型；通过施加载荷后的谐响应曲线，获得前三阶共振峰，将数值仿真结果与理论求解及实验结果进行对比，结果是一致的。
关键词:ANSYS,杨氏模量,共振频率,有限元分析
动态法测量固体材料杨氏模量实验中[1]，基于细长棒横振动偏微分方程求解，建立了共振频率(固有频率)与杨氏模量的关系，提出了共振法测量杨氏模量的实验思想。整个实验最终归结为材料棒共振频率的测量。实验中需首先根据测量的材料棒外形尺寸参数及杨氏模量与共振频率关系式，进行共振频率的估算。作者在测量部分不锈钢材料棒截面直径时，发现两端直径有偏差。对于复杂截面和变截面材料，惯性矩不再是常数，理论估算将无法进行，导致测量共振频率困难。文献2通过Matlab基于图解法分析获得了杆横振动一阶、二阶、三阶共振频率及相应振型[2]，计算过程繁琐复杂。借助通用有限元分析软件ANSYS14.0，基于有限元的思想，通过对材料棒的物理建模及网格划分，进行了振动模态分析，获得了材料棒的前三阶共振频率及相应的振型；通过谐响应分析得到的前三阶的共振峰，与实验结果对比表明，在误差允许范围内是一致的。通过ANSYS的有限元建模及其模态分析，可获得相应共振频率，对于理论分析和实验具有一定的指导作用。
1理论分析
一根细长棒，其长度L远远大于直径d(L>>d)，作微小横振动动力学方程(横振动方程)为
根据表1中参数，将KnL＝4.730，7.853，10.996(n＝1，2，3)代入式(3)进行计算，可获得前三阶共振频率分别为:792.43Hz、2184.32Hz、4282.66Hz。整个实验装置如图1所示:材料棒采用激振换能器、拾振换能器支撑，利用信号发生器产生正弦波信号加载到激振换能器产生机械振动，拾振换能器取出振动信号显示于数字示波器；当施加信号频率与固有频率相等时，则示波器显示幅度拉伸到最大的共振信号。根据上面理论计算的结果，对激振换能器施加可调正弦信号，在计算出的频率附近寻找，并精确判断出共振状态，读出信号频率，可得到前三阶对应共振频率的实验测量值分别为:787.90Hz、2117.51Hz、4152.82Hz。
3基于ANSYS的模态及谐响应分析
如图2(a)所示为实验采用的细长铜棒，通过ANSYS[6-8]前处理器PREP定义单元类型为beam单元，按照表格1设置模型的密度、泊松比、杨氏模量等参数，建立与实验试样相同的铜制细长棒模型。
采用Blocklanczos方法进行模态分析[9]，求解铜制细长棒的前三阶共振频率。施加约束进行求解。通过后处理器POST1，查看铜杆的各阶振动频率及振型如图3(a)~(c)所示，细长棒的前三阶共振频率分别为792.176Hz、2162.47Hz、4180.81Hz，对应的铜制细长棒的前三阶振型如图3所示。
定义求解类型为谐响应分析(Harmonic)，选择完全法(FULL)进行求解；在40号节点施加周期性集中载荷幅值为150N，初始相位角为0。设定求解频率范围为100~5000Hz，子步数设定为500，载荷步为“stepped”，进行模型求解。细长棒的谐响应分析[10-12]如图4所示，显示了160号节点的Y方向位移与激励频率的关系，在0~5000Hz范围内出现了三个共振峰，分别大致为800Hz、2200Hz、4200Hz，与模态分析的前三阶共振频率分析吻合。
4对比结论
根据式(4)和表1中的参数，计算得到铜制细长杆前三阶固有频率的值，将其与软件仿真结果列于表2，通过进行对比及相对误差的计算，可以看出三者基本吻合，且仿真结果与理论计算更为吻合。且随着阶数的增大，相对误差均有逐渐增大的趋势。
基于ANSYS的数字建模仿真，通过模态及谐响应分析获得材料的共振频率，简化计算求解，可用于其他复杂截面材料共振频率求解，快速估算出共振频率值，从而对实验研究和理论分析具有一定的指导作用。
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